Une martingale est une technique permettant d'augmenter les chances de gain aux jeux de hasard. Le principe dépend complètement du type de jeu qui en est la cible, mais le terme est accompagné d'une aura de mystère qui voudrait que certains joueurs connaissent des techniques secrètes mais efficaces pour tricher avec le hasard. Par exemple, de nombreux joueurs (ou candidats au jeu) cherchent LA martingale qui permettra de battre la banque dans les jeux les plus courants dans les casinos (des institutions dont la rentabilité repose presque entièrement sur la différence - même faible - qui existe entre les chances de gagner et celles de perdre).

Les différentes martingales

De nombreuses martingales ne sont que le rêve de leur auteur, certaines sont en fait inapplicables, quelques-unes permettent effectivement de tricher un peu. Les jeux d'argent sont en général inéquitables : quel que soit le coup joué, la probabilité de gain du casino (ou de l'État dans le cas d'une loterie) est plus importante que celle du joueur. Dans ce type de jeu, il n'est pas possible d'inverser les chances, seulement de minimiser la probabilité de ruine du joueur.

La martingale classique

Appelée également martingale de Hawks, elle consiste à jouer une chance simple à la roulette (noir ou rouge, pair ou impair) de façon à gagner, par exemple, une unité dans une série de coups en doublant sa mise si l'on perd, et cela jusqu'à ce que l'on gagne. Exemple : le joueur mise 1 unité sur le rouge, si le rouge sort, il arrête de jouer et il a gagné 1 unité (2 unités de gain moins l'unité de mise), si le noir sort, il double sa mise en pariant 2 unités sur le rouge et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il gagne.

Ayant une chance sur deux de gagner, il peut penser qu'il va finir par gagner; quand il gagne, il est forcément remboursé de tout ce qu'il a joué, plus une fois sa mise de départ.

Cette martingale est théoriquement sûre. Mais elle présente deux inconvénients majeurs :

• Elle est limitée par les mises que le joueur peut faire car il faut doubler la mise à chaque coup tant que l'on perd : 2 fois la mise de départ, puis 4, 8, 16.... si il perd 10 fois de suite, il doit pouvoir avancer 1024 fois sa mise initiale pour la 11eme partie! Il faut donc beaucoup d'argent pour gagner peu.
• Les roulettes comportent un "0" qui n'est ni rouge ni noir.
• De plus, pour paralyser cette stratégie, les casinos proposent des tables de jeu par tranche de mise : de 1 à 100 euros, de 2 à 200, de 5 à 500, etc. Impossible donc d'utiliser cette méthode sur un grand nombre de coups, ce qui augmente le risque de tout perdre.

la grande martingale

Elle est semblable à la martingale classique, sauf que le joueur ne se contente pas de doubler sa mise à chaque perte, il ajoute aussi une unité.

Exemple:

• Le joueur mise une unité, s'il gagne, il quitte le jeu avec: 2 unité - 1 unité qu'il a joué = 1 unité

• S'il perd une première fois, il joue 3 unités, s'il gagne, il emporte 6 unités - 3 (qu'il vient de jouer dans la 2eme partie) - 1 (qu'il a joué dans la 1ere partie) = 2 unités

• S'il perd une deuxième fois, il joue 7 unités, s'il gagne, il emporte 14 unités - 7 (qu'il vient de jouer dans la 3eme partie) - 3 (qu'il a joué dans la 2eme partie) - 1 (qu'il a joué dans la 1ere partie) = 3 unités

etc...

Cette martingale est aussi sûre que la martingale classique (le joueur est certain de ne rien perdre en sortant du casino, sauf bien sûr s'il n'arrive jamais à gagner!), et elle permet d'augmenter les gains. Mais elle est encore plus limitée par les mises que le joueur peut faire: il suffit qu'il perde trois fois, pour devoir jouer 15 fois sa mise au prochain coup (2047 fois pour la 11eme partie).

La Piquemouche

C'est une autre variante de la martingale classique. Le joueur recommence à une unité quand il gagne, mais quand il perd, il augmente sa mise d'un unité, il ne la double qu'après deux pertes consécutives. Elle ne necessite pas d'augmenter dès le début les mises en cas de pertes successives, elle est sûre, mais les gains sont faibles (nuls si on ne gagne pas dès la premiere partie).

Exemple:

• Le joueur mise une unité, s'il gagne, il quitte le jeu avec: 2 unité - 1 unité qu'il a joué = 1 unité

• S'il perd une première fois, il joue 1 unité, s'il gagne, il emporte 2 unités - 1 (qu'il a joué dans la 2eme partie) - 1 (qu'il a joué dans la 1ere partie) = 0 unités

• S'il perd une deuxième fois, il joue 2 unités, s'il gagne, il emporte 4 unités - 2 (qu'il a joué dans la 3eme partie) - 1 (qu'il a joué dans la 2eme partie) - 1 (qu'il a joué dans la 1ere partie) = 0 unités

etc...

La pyramide d'Alembert

(référence à Jean le Rond d'Alembert, mathématicien du XVIIIè siècle)

Le principe consiste à augmenter la mise d'une unité après une perte et à diminuer la mise d'une unité après un gain.

La contre d'Alembert

Cette martingale reprend le principe de celle d'Alembert mais les mises se font dans l'autre sens : il faut donc ici diminuer la mise d'1 unité lorsque l'on perd et augmenter la mise d'1 unité lorsque l'on gagne.

Le paroli

Cette martingale consiste à doubler la mise à chaque gain (donc remiser ce qu'on a gagné), puis, à partir d'un nombre de gain défini à l'avance, s'arreter et recommencer avec la mise de départ. On parle de paroli de 1, si on s'arrete après avoir gagné deux fois sa mise, paroli de 2 si on a gagné quatre fois sa mise, paroli de 3 si on s'arrete après avoir gagné huit fois sa mise, etc...

Les autres

• L'américaine
• La Hollandaise
• La Whittackerll

Martingales et mathématiques

Une martingale est destinée à optimiser l'espérance mathématique d'une stratégie de jeu.

Loi de Dubins et Savage

Mathématiquement, Lester Dubins et Leonard Savage ont démontré en 1956 que la meilleure façon de jouer dans un jeu où les probabilités sont défavorables au joueur consiste à miser toujours ce qui permet d'approcher le plus rapidement le but visé. Intuitivement ce résultat semble évident: si à chaque partie on a plus de chances de perdre que de gagner, autant minimiser le nombre de parties jouées. Ce résultat signifie également, qu'à moins de disposer d'une mise de départ infinie, il n'existe pas de stratégies permettant de renverser les probabilités en votre faveur dans un jeu qui vous est défavorable. Il faut noter que même dans le cas d'un jeu équitable, le joueur le plus fortuné est favorisé, tout simplement car il a plus de chances de ruiner son adversaire et donc de l'empêcher de continuer à jouer.

Probabilités

Il existe cependant certains jeux de hasard qui ne sont pas systématiquement défavorables au joueur. On peut citer par exemple le cas de William Jaggers qui gagna une forte somme à Monte Carlo au XIX^e siècle en étudiant systématiquement les fréquences de sortie des numéros à la roulette. Il put ainsi déterminer certains numéros qui avaient une probabilité de sortie qui lui était favorable. Aujourd'hui les casinos se protègent contre ce genre de pratiques en entretenant soigneusement leur matériel, si bien que les dispersions sont extrêmement faibles. Ceci signifie que les probabilités de sortie d'un numéro donné sont au mieux très légèrement favorables au joueur. Il faudrait donc parier un nombre immense (souvent pendant plusieurs mois) de fois des petites sommes pour espérer un gain probablement très loin de rémunérer les efforts consentis.

Le black jack est un jeu qui possède des stratégies gagnantes : plusieurs techniques de jeu, qui nécessitent généralement de mémoriser les cartes, permettent de renverser les chances en faveur du joueur. Le mathématicien Edward Thorp a ainsi publié en 1962 un livre Beat the Dealer qui fut à l'époque un véritable best-seller. Mais toutes ces méthodes demandent de longues semaines d'entraînement et sont facilement décelables par le croupier (les brusques changements de montant des mises sont caractéristiques). Le casino a alors tout loisir d'écarter de son établissement ces joueurs inopportuns. Le black jack reste pourtant le jeu le moins défavorable au joueur : l'avantage du casino n'est que de 0,66 % face à un bon joueur, il est de 2,7 % à la roulette et jusqu'à 10 % pour les machines à sous.

Les méthodes miraculeuses

Un certain nombre de revues ou de sites internet prétendent vous renseigner sur la « forme » des numéros, c'est-à-dire leur probabilité de sortir dans les prochains tirages. Voici par exemple un tirage de 50 boules de loto: 39, 38, 42, 29, 18, 48, 40, 36, 9, 24, 49, 33, 47, 9, 45, 7, 11, 49, 16, 28, 27, 25, 16, 27, 22, 48, 5, 24, 16, 6, 4, 14, 17, 44, 46, 9, 37, 22, 39, 12, 33, 9, 21, 44, 11, 33, 19, 20, 37, 18. On s'aperçoit que la boule 9 est sortie 4 fois alors que la boule 8 n'est jamais sortie. Suite à des calculs savants, les auteurs de ces « méthodes » vous diront alors que le chiffre 9 est en forme et qu'il va donc sortir dans les prochains tirages ou au contraire que la loi des grands nombres implique que le 8 à une probabilité plus forte de sortir pour combler son retard.

Il s'agit bien entendu là d'une erreur à la limite de l'escroquerie caractérisée. Les boules de loto ne s'amusent pas à compter le nombre de fois où elles sont sorties de la machine, d'autant plus qu'il faudrait qu'elles soient suffisamment coquettes pour ne pas prendre en compte les tirages de tests ou de calibration des machines. Si chaque boule a en moyenne une chance sur 49 de sortir, cette probabilité n'est atteinte que pour un nombre infiniment grand de tirages. Le fait que la boule 9 soit sortie 4 fois de plus que la boule 8 n'a donc aucune importance puisque les probabilités ne garantissent pas que chaque boule va sortir le même nombre de fois, mais simplement que la différence du nombre de sorties de deux boules sera très petite par rapport au nombre total de tirages : rien ne dit que la boule huit va finalement rattraper son retard. Par exemple, si au bout de dix mille tirages la boule 9 est sortie 206 fois et la boule 8 est sortie 202 fois, on obtiendra une fréquence de 1,01/49 et 0,99/49. Au millionième tirage si la boule 9 est sortie 20410 fois et la boule 8 est sortie 20406 fois on obtiendra respectivement 1,0001/49 et 0,9999/49. Les fréquences s'approchent de plus en plus de la probabilité théorique de 1/49, pourtant la boule 9 conserve son avance de quatre sorties sur la boule 8.

Il faut noter qu'il existe également d'autres méthodes un peu plus évoluées. L'une d'elles repose sur les combinaisons les moins jouées. Dans les jeux où le gain dépend du nombre de joueurs gagnants (Loto...), jouer les combinaisons les moins jouées optimisera les gains. D'ailleurs si la Française des Jeux publie largement les statistiques sur les numéros tirés, les statistiques sur les numéros joués sont jalousement gardées. C'est ainsi que certaines personnes vendent des combinaisons qui seraient statistiquement très rarement utilisées par les autres joueurs.

D'autres reposent sur le pari d'un biais systématique : les tirages ne sont pas exactement équiprobables, suite par exemple à d'infimes différences de poids des boules. Même si le calcul de l'espérance mathématique de ce type de martingale est beaucoup plus complexe, le bon sens indique que si l'auteur de la recette trouve plus rentable de la vendre que de l'utiliser pour son compte, c'est probablement que son efficacité est à peu près nulle.

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